高校受験数学の図形・証明問題の解き方ガイド
高校入試の数学で図形問題は配点の25〜30%を占める最重要分野です。特に証明問題は都立入試で配点7点と、1問あたりの配点が最も大きい問題になっています。「証明問題が苦手」という受験生は多いですが、実は証明問題はパターンが決まっているため、コツさえ掴めば確実に得点できます。
高校受験数学の図形・証明問題の解き方ガイド
高校入試の数学で図形問題は配点の25〜30%を占める最重要分野です。特に証明問題は都立入試で配点7点と、1問あたりの配点が最も大きい問題になっています。「証明問題が苦手」という受験生は多いですが、実は証明問題はパターンが決まっているため、コツさえ掴めば確実に得点できます。
この記事では、図形問題の基本的な解き方から証明問題の書き方まで、具体的に解説します。数学対策の全体像と合わせて確認してください。
高校入試の図形問題の出題パターン
入試で出題される図形問題は、大きく3つのパターンに分かれます。
| パターン | 内容 | 配点目安 |
|---|---|---|
| 角度・長さを求める | 平行線の性質、円の性質を利用 | 3〜5点 |
| 面積・体積を求める | 公式の応用、分割・合成 | 5〜8点 |
| 証明問題 | 合同・相似の証明 | 5〜7点 |
平面図形では角度・面積・証明の3種類が中心で、空間図形では体積・表面積・展開図が出題されます。
図形の基本公式と性質を完璧にする
図形問題を解くための土台は、公式と性質の暗記です。
必ず覚えるべき公式
| 図形 | 公式 |
|---|---|
| 三角形の面積 | 底辺 × 高さ ÷ 2 |
| 平行四辺形の面積 | 底辺 × 高さ |
| 台形の面積 | (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 |
| 円の面積 | πr² |
| 円の周の長さ | 2πr |
| 円錐の体積 | πr²h ÷ 3 |
| 球の体積 | 4πr³ ÷ 3 |
必ず覚えるべき性質
- 平行線の同位角・錯角は等しい
- 三角形の内角の和は180°
- 円周角は中心角の半分
- 接線と半径は垂直に交わる
- 二等辺三角形の底角は等しい
これらが身についていないと、どんな問題にも対応できません。計算力の強化と並行して覚えましょう。
合同の証明の完全攻略
合同の証明は中2で習い、入試で最も出題される証明問題です。
三角形の合同条件（3つ）
| 条件 | 内容 |
|---|---|
| 3辺が等しい | AB=DE, BC=EF, CA=FD |
| 2辺とその間の角が等しい | AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF |
| 1辺とその両端の角が等しい | BC=EF, ∠B=∠E, ∠C=∠F |
直角三角形の合同条件（2つ）
| 条件 | 内容 |
|---|---|
| 斜辺と1つの鋭角が等しい | 斜辺=斜辺, 鋭角=鋭角 |
| 斜辺と他の1辺が等しい | 斜辺=斜辺, 1辺=1辺 |
証明の書き方テンプレート
```
△ABCと△DEFにおいて
仮定より、AB = DE …①
○○より、BC = EF …②
△△より、∠B = ∠E …③
①②③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC ≡ △DEF
```
相似の証明の完全攻略
相似の証明は中3で習い、難易度が高い分、配点も大きくなります。
三角形の相似条件（3つ）
| 条件 | 内容 |
|---|---|
| 3組の辺の比がすべて等しい | AB:DE = BC:EF = CA:FD |
| 2組の辺の比とその間の角が等しい | AB:DE = BC:EF, ∠B=∠E |
| 2組の角がそれぞれ等しい | ∠A=∠D, ∠B=∠E |
相似の3つの基本パターン
相似の問題には3つの典型パターンがあります。
1. ちょうちょ型：2つの三角形が交差するように重なっている形。対頂角が等しいことを利用する。
2. 重複型：大きい三角形の中に小さい三角形が含まれている形。共通の角を利用する。
3. 反転型：向きが逆になっている形。平行線の錯角を利用する。
この3パターンを覚えれば、ほとんどの相似の問題に対応できます。応用問題の解き方も参考にしてください。
証明問題を解く5つのコツ
コツ1：結論から逆算する
証明問題では「何を証明するか」をまず確認し、結論から逆算して考えます。例えば「△ABC ≡ △DEF を証明せよ」なら、合同条件を満たすために「どの辺やどの角が等しいことを示せばいいか」を先に考えます。
コツ2：図に情報を書き込む
問題文から読み取れる情報（等しい辺、等しい角、平行など）をすべて図に書き込みます。等しい辺には同じ印、等しい角には同じ印をつけることで、使うべき条件が見えてきます。
コツ3：共通な辺・角を見つける
2つの三角形が重なっている場合、共通な辺や共通な角が存在します。これを見つけると、あと2つの等しい関係を示すだけで証明が完成します。
コツ4：仮定以外の等しい関係を探す
仮定で与えられる情報以外にも、以下から等しい関係が導けます：
- 対頂角は等しい
- 平行線の錯角・同位角は等しい
- 二等辺三角形の底角は等しい
- 円周角の定理
コツ5：証明のテンプレートを暗記する
証明の「書き方」自体はパターンが決まっています。テンプレートを暗記して、当てはめるように書く練習をしましょう。
角度・面積を求める問題の攻略法
証明以外の図形問題の解き方も押さえましょう。
角度問題のコツ
- 平行線があれば同位角・錯角を探す
- 三角形があれば内角の和180°を利用
- 円があれば円周角の定理を利用
- 補助線を引いて新しい三角形を作る
面積問題のコツ
- 複雑な図形は単純な図形に分割する
- 「全体から引く」方法も有効（全体の面積 − 不要な部分）
- 等積変形（底辺が同じなら高さが同じ三角形は面積が等しい）を活用
- 三平方の定理で高さや辺の長さを求める
空間図形のコツ
- 展開図を描いて考える
- 断面図を活用して立体を平面に変換する
- 回転体は底面積 × 高さの基本公式に帰着させる
偏差値を効率的に上げるコツも合わせて実践してください。
図形問題の実戦演習プラン
| 期間 | やること | 目標 |
|---|---|---|
| 1週目 | 角度・面積の基本公式を総復習 | 公式を即座に使える状態に |
| 2週目 | 合同の証明問題を10問解く | テンプレートで書けるように |
| 3週目 | 相似の証明問題を10問解く | 3パターンを見分けられるように |
| 4週目 | 入試過去問の図形大問を集中演習 | 実戦力の完成 |
おすすめ問題集から図形に強い教材を選び、過去問と組み合わせて演習しましょう。
まとめ：図形・証明は「パターン暗記」で攻略できる
図形・証明問題は一見難しそうに見えますが、パターンが限られているため対策がしやすい分野です。
- 証明問題は合同条件3つ＋相似条件3つを完璧に暗記
- 相似にはちょうちょ型・重複型・反転型の3パターン
- 結論から逆算して必要な条件を考える
- 図に情報を書き込む習慣をつける
- テンプレートを暗記して書き方を定着させる
- 角度・面積は公式＋補助線で解く
証明問題で確実に得点できれば、数学全体の点数が大きく伸びます。効果的な勉強法と組み合わせて、計画的に対策を進めてください。
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