高校受験数学の関数分野を得意にする攻略法
高校入試の数学で関数は必ず出題される最重要分野の一つです。一次関数と二次関数を中心に、大問として20〜25点分が出題されることが多く、ここで得点できるかどうかが合否を左右します。
高校受験数学の関数分野を得意にする攻略法
高校入試の数学で関数は必ず出題される最重要分野の一つです。一次関数と二次関数を中心に、大問として20〜25点分が出題されることが多く、ここで得点できるかどうかが合否を左右します。
「関数は苦手」という受験生は多いですが、関数はパターンが限られているため、正しい対策をすれば得点源に変えられます。この記事では、関数分野を得意にするための攻略法を一次関数・二次関数それぞれについて具体的に解説します。数学対策の全体像と合わせて確認してください。
高校入試における関数の出題傾向
まず、入試でどのように関数が出題されるかを把握しましょう。
| 出題パターン | 出題頻度 | 配点目安 |
|---|---|---|
| 変化の割合・増加量を求める | 非常に高い | 3〜5点 |
| グラフから式を求める | 非常に高い | 3〜5点 |
| 座標の求め方（交点など） | 高い | 5〜8点 |
| 面積を求める（グラフと図形の融合） | 高い | 5〜10点 |
| 動点問題 | 中程度 | 5〜10点 |
| 二次関数の変域 | 中程度 | 3〜5点 |
大問では一次関数と二次関数の融合問題が出されることが多く、直線と放物線の交点を求めてから面積を計算するパターンが定番です。
一次関数の完全攻略
一次関数は中2で習いますが、入試でも頻繁に出題されます。基本をしっかり押さえましょう。
一次関数の基本公式
一次関数の式は y = ax + b で表されます。
| 要素 | 意味 | 求め方 |
|---|---|---|
| a（傾き） | 変化の割合。xが1増えるとyがa増える | （yの増加量）÷（xの増加量） |
| b（y切片） | グラフがy軸と交わる点のy座標 | x=0を代入 |
| 変化の割合 | xの変化に対するyの変化の割合 | 一次関数ではaと同じ |
一次関数の式を求める4パターン
パターン1：傾きと1点が分かっている場合
y = ax + b にaの値と通る点の座標を代入してbを求める。
パターン2：2点が分かっている場合
2点の座標からaを計算し、次にbを求める。または連立方程式で一度にa、bを求める。
パターン3：グラフから式を読み取る場合
y切片（b）を読み取り、傾き（a）を「右にいくつ、上にいくつ」で計算する。
パターン4：平行な直線の場合
平行な直線は傾き（a）が同じ。通る点からbだけ求めればよい。
二次関数の完全攻略
二次関数（y = ax²）は中3で習い、入試では大問として出題されることが多い重要分野です。
二次関数の基本
| 要素 | 内容 |
|---|---|
| 式 | y = ax²（aは0以外の定数） |
| グラフの形 | a > 0 なら下に凸（U型）、a < 0 なら上に凸（逆U型） |
| 頂点 | 原点(0, 0) |
| 対称軸 | y軸 |
| 変化の割合 | 一定ではない（区間によって変わる） |
二次関数の変化の割合の求め方
二次関数 y = ax² でxがpからqまで変化するとき：
変化の割合 = a(p + q)
この公式を覚えておけば、変化の割合の問題は瞬時に解けます。例えば y = 2x² でxが1から3まで変化するとき、変化の割合 = 2(1+3) = 8 です。
二次関数の変域
二次関数の変域問題では、xの変域が0をまたぐかどうかがポイントです。0をまたぐ場合、yの最小値は0になるため注意が必要です。
参考：二次関数の基本の解き方を押さえよう - StudySearch
一次関数と二次関数の融合問題の解き方
入試で最も出題されるのが、一次関数と二次関数の融合問題です。
典型的な出題パターン
「放物線y = ax²と直線y = mx + nの交点を求めよ」
解き方：
- y = ax² と y = mx + n を連立する
- ax² = mx + n を整理して ax² - mx - n = 0
- この二次方程式を解いてxの値を求める
- xの値をどちらかの式に代入してyの値を求める
面積を求める問題
グラフで囲まれた三角形や四角形の面積を求める問題も頻出です。
コツ：
- 交点の座標をすべて求める
- 底辺と高さを特定する（y軸やx軸に平行な辺を底辺にすると計算しやすい）
- 複雑な形は三角形に分割して計算する
応用問題の解き方も参考にしてください。
関数の問題を解くための3つのコツ
コツ1：必ずグラフを描く
関数の問題を解くとき、必ずグラフを描くことが最も重要なコツです。頭の中だけで考えるとミスが生じやすいですが、グラフを描くことで問題の全体像を視覚的に把握できます。
具体的には：
- 座標軸を正確に描く
- 直線や放物線を通る点をいくつかプロットする
- 交点やy切片を書き込む
- 求めるべき長さや面積を図に書き込む
コツ2：問題パターンを覚える
関数の入試問題は、以下の4つの基本パターンに集約されます。
- 変化の割合・増加量を求める問題
- グラフから式を求める問題
- 交点の座標を求める問題
- 面積・長さを求める問題
これらのパターンの解法を覚えれば、ほとんどの問題に対応できます。過去問演習で実際のパターンを確認しましょう。
コツ3：比例から順に理解を積み上げる
関数は比例→反比例→一次関数→二次関数の順に発展します。二次関数が分からないなら、一次関数に戻る。一次関数が分からないなら、比例に戻る。このさかのぼり学習が関数克服の近道です。
苦手を根本から克服する方法も合わせて参考にしてください。
関数の実戦演習プラン
関数を得意にするための具体的な演習プランを紹介します。
| 期間 | やること | 目標 |
|---|---|---|
| 1週目 | 一次関数の基本問題を全パターン解く | 式の求め方を完璧に |
| 2週目 | 二次関数の基本問題を全パターン解く | 変化の割合・変域をマスター |
| 3週目 | 一次関数と二次関数の融合問題 | 交点・面積の求め方を習得 |
| 4週目 | 過去問の関数大問を10問以上解く | 実戦力の完成 |
問題集はおすすめ問題集ランキングから関数に強い教材を選んでください。計算力も関数問題の正答率に直結するため、並行して鍛えましょう。
まとめ：関数は入試の得点源にできる
関数は苦手意識を持つ受験生が多い分野ですが、パターンが限られているため、対策がしやすい分野でもあります。
- 一次関数は y = ax + b の各要素を理解する
- 二次関数は y = ax² のグラフの特徴を把握する
- 融合問題は連立方程式で交点を求める
- 問題を解くときは必ずグラフを描く
- 4つの基本パターンの解法を暗記する
- 苦手なら比例に戻ってさかのぼり学習
関数を得意にできれば、入試で20点以上の得点源になります。効果的な勉強法と組み合わせて、計画的に対策を進めてください。
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