中学受験算数の場合の数と確率の解き方

中学受験の算数で「場合の数」は、多くの受験生が苦手とする単元の一つです。数え漏れや重複カウントが起こりやすく、「答えは合っているはずなのに違う」という経験をしたお子さんも多いのではないでしょうか。

しかし、場合の数は正しい解法のパターンを身につければ、確実に得点できる分野です。この記事では、樹形図の書き方から順列・組み合わせの使い分けまで、場合の数を完全攻略する方法を解説します。

場合の数とは？基本的な考え方

場合の数とは、「ある条件を満たすものが全部で何通りあるか」を求める問題です。中学受験では計算で求める方法と、書き出して数える方法の両方が出題されます。

場合の数を解く3つの道具

かるび勉強部屋で紹介されているように、場合の数を解くには3つの道具があります。

「和の法則」と「積の法則」

場合の数の計算では、2つの重要な法則があります。

和の法則：「AまたはB」のパターン → Aの場合の数 + Bの場合の数

積の法則：「AかつB」のパターン → Aの場合の数 × Bの場合の数

例えば、サイコロを2回振って合計が7になる組み合わせを求めるとき、1回目と2回目の出目は独立しているため積の法則が関係しますが、(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)と書き出すと6通りとわかります。

樹形図の書き方とコツ

樹形図は場合の数の最も基本的な道具です。樹形図の書き方のコツを押さえれば、数え漏れや重複を防げます。

樹形図の基本ルール

1. 順番を決めて書く：必ず同じ順序で分岐を書く
2. 条件をチェックしながら書く：条件に合わないものは途中で止める
3. 漏れなく重複なく：全てのパターンを網羅する

樹形図が有効な問題パターン

• 3〜4個のものの並べ方
• 条件付きの並べ方（隣り合う・隣り合わないなど）
• 道順の問題（格子状の道を通るパターン）

樹形図の書き方の具体例

例えば、A、B、C、Dの4人から3人を選んで一列に並べる場合：

1回目の選択：A、B、C、Dの4通り

2回目の選択：残り3人から1人で3通り

3回目の選択：残り2人から1人で2通り

樹形図で全て書き出すと、4×3×2＝24通りとなります。

算数の頻出単元と対策法も参考にしてください。

順列（並べ方）の計算方法

順列は「順序を考えて並べる」場合の数を求める計算方法です。

順列の基本公式

n個のものからr個を選んで並べる順列は：

nPr = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)

特殊な順列パターン

円順列：円形に並べる場合は、(n-1)! で計算します。4人が円卓に座る場合は3×2×1＝6通りです。

同じものを含む順列：同じ文字が複数ある場合は、同じもの同士の入れ替えを除きます。例えば「ABBA」の4文字の並べ方は、4!÷(2!×2!)＝6通りです。

条件付き順列：「AとBが隣り合う」などの条件がある場合は、AとBをひとまとめにして計算します。

組み合わせ（選び方）の計算方法

組み合わせは「順序を考えずに選ぶ」場合の数です。順列との違いを正確に理解することが重要です。

順列と組み合わせの違い

京進の解説でも強調されているように、順列と組み合わせの見分けが場合の数攻略のカギです。

組み合わせの計算例

5人から3人の委員を選ぶ場合：

• 順列：5×4×3 = 60通り
• 3人の並び替え：3×2×1 = 6通り
• 組み合わせ：60÷6 = 10通り

入試頻出の問題パターンと解法

実際の入試で出題される場合の数の問題は、いくつかの定番パターンに分類できます。

パターン1：カードの並べ方

0〜9のカードから3枚選んで3桁の整数を作る問題は最頻出です。

ポイント：

• 百の位に0は使えない
• 偶数を作る条件、3の倍数を作る条件など

パターン2：色の塗り分け

3色以上の色で隣り合う領域を異なる色に塗る問題です。

ポイント：

• 隣接する領域の関係を整理する
• 色の数と領域の数の関係を考える

パターン3：道順（最短経路）

格子状の道で、AからBへ最短距離で行く方法を求めます。

ポイント：

• 「右にm回、上にn回」の並べ替え問題として解く
• 通れない交差点がある場合は、その分を引く

パターン4：サイコロの問題

サイコロを振って特定の条件を満たす目の出方を求めます。

ポイント：

• 2個のサイコロの目の出方は全部で36通り
• 表を使って整理すると数え漏れが防げる

中学受験算数の文章題の解き方も、場合の数の文章題対策に役立ちます。

場合の数の苦手を克服する勉強法

場合の数が苦手なお子さんには、段階的なアプローチが効果的です。

ステップ1：少ない数で全て書き出す

まず3〜4個の要素で、樹形図を使って全パターンを書き出す練習をします。この段階では計算を使わず、漏れなく重複なく数える感覚を身につけることが目的です。

ステップ2：パターンを認識する

場合の数の解き方の例題を参考に、問題がどのパターンに該当するかを見分ける練習をしましょう。

• 「並べる」→ 順列
• 「選ぶ」→ 組み合わせ
• 「条件付き」→ 樹形図で書き出し

ステップ3：計算と書き出しの使い分け

数が少ない場合は書き出し、数が多い場合は計算で求める判断力をつけます。入試では「最も効率的な解法を選ぶ」ことが重要です。

ステップ4：過去問で実戦練習

実際の入試問題で、制限時間内に正確に解く練習をします。場合の数は配点が高い傾向があるため、確実に得点したい単元です。

算数の偏差値アップ勉強法も参考にしてください。

よくあるミスとその対策

場合の数で陥りやすいミスと、その具体的な対策を紹介します。

ミス1：数え漏れ

原因：樹形図を書く順番が統一されていない

対策：必ず「小さい順」「アルファベット順」など一定のルールで書く

ミス2：重複カウント

原因：順列と組み合わせを混同している

対策：「順序が関係あるか」を問題文から正確に読み取る

ミス3：条件の見落とし

原因：問題文の条件を最後まで読んでいない

対策：条件に線を引いて確認する習慣をつける

ミス4：計算ミス

原因：掛け算・割り算の途中で間違える

対策：少ない数で書き出して検算する

計算力を鍛える方法も合わせて参考にしてください。

まとめ：場合の数は「道具」と「パターン」で攻略

場合の数は正しいアプローチを身につければ、確実に得点できる分野です。攻略のポイントは以下の通りです。

1. 3つの道具（樹形図・順列・組み合わせ）を使い分ける
2. 入試頻出パターンを覚えて問題を分類する力をつける
3. 書き出しと計算を状況に応じて使い分ける
4. 数え漏れ・重複を防ぐルールを徹底する
5. 実戦練習で時間内に正確に解く力をつける

コツコツと練習を重ねれば、場合の数は得点源に変えることができます。算数の図形問題の攻略法など他の単元の対策も進めて、算数全体の得点力を上げましょう。

よくある質問（FAQ）

Q: 場合の数は書き出しと計算、どちらで解くべきですか？

A: 要素が5つ以下なら書き出し、6つ以上なら計算が効率的です。ただし入試では、計算で求めた後に少ない数で検算するのが確実です。

Q: 順列と組み合わせの見分け方を教えてください。

A: 「AさんとBさんを選ぶ」のと「BさんとAさんを選ぶ」のが同じ結果なら組み合わせ、違う結果なら順列です。委員長と副委員長のように役割が異なる場合は順列になります。

Q: 場合の数の勉強はいつから始めるべきですか？

A: 小学4年生後半〜5年生前半に基礎を学び始めるのが一般的です。ただし、掛け算・割り算が確実にできることが前提です。